sin2ψ法自1961年由德国学者马赫劳赫（E. Macherauch）提出，很快得到人们的广泛认可，并逐渐成为X射线应力测定的标准方法。这一方法的运用，标志着X射线应力测定成为一种成熟的、具有可操作性的测试技术。

X射线应力测定涵盖了X射线学、几何学、代数学、统计学等多个分支学科，其复杂程度相对于一般的物理实验方法有显著增加。

因此，在X射线应力测定的检测、计算、数据处理等环节，会出现各种实际问题。

本篇，我们将讨论几个——在相关标准/文献中有提及、或者在X射线应力分析仪器中有使用，但是在常规使用的GB/T 7704-2017等标准中又没有完全解释的问题。

计划主要从以下几个方面展开讨论：

1、 固定ψ与固定ψ0

2、 2θ与ψ的精确度对应力计算结果的影响

3、 修正χ法的应力计算

4、 曲面检测时光斑选择与误差

5、 衍射峰校正

6、 衍射峰的函数拟合与比较

1、固定ψ与固定ψ0

目前的X射线应力测定方法标准，主要面向：采用线阵探测器和测角仪机构，在多个ψ角采集衍射信息，并使用sin2ψ方法进行应力计算。

根据X射线应力仪的衍射几何布置类型，测定方法大致可以分为同倾法、侧倾法、双线阵探测器侧倾法三种类型。国内外对各测定方法衍射几何的定义基本一致。

中英文常规名称和简称的对照：

GB/T 7704-2017标准还对同倾法和侧倾法进一步划分了固定ψ法和固定ψ0法。

在衍射几何中，ψ0是X射线的入射线；ψ是衍射晶面方位角，也就是入射线和衍射线的角平分线。

出现固定ψ法和固定ψ0法之分，主要反映的是测角仪工作机制的差异。

固定ψ法一般是采用θ-2θ扫描，即射线管和探测器在ψ角两侧对称运动，预设的ψ角和参与衍射的晶粒所处的ψ方位角完全一致；固定ψ0法则是将ψ转化为表现入射线方位的ψ0进行控制，实现指定ψ位置的检测。

使用线阵探测器的衍射装置上更易实现固定ψ0方法；而固定ψ方法由于多采用θ-2θ扫描，对仪器的机械水平要求更高，通常只应用在配置计数器类点阵探测器的衍射仪上。

虽然国外相关标准上均未对同倾法和侧倾法按照固定ψ法和固定ψ0法来进一步区分，但是，并不能说国标对这一详细区分和描述是无意义的。

另外一个值得关注的重要方面：固定ψ法和固定ψ0法之间的区别，是否对应力的计算结果产生影响？

首先应注意，在应力计算中直接使用的是ψ。

采用固定ψ法检测时，ψ的设置值即为真实值，在应力计算时可直接使用而不会带来额外误差；

而采用固定ψ0法检测时，需要预先采用ψ=ψ0+（180°-2θ0）/2关系式将ψ转化为ψ0，测角仪以经过转换的ψ0参数进行衍射采集。

严格意义上讲，由于被测材料通常有残余应力，其每个晶粒的真实2θ（即2θφψ）与2θ0有一定差别，且在不同ψ方向上各不相同。将检测设定的ψ0使用真实2θφψ转化得到的ψ，才是真实参与衍射的晶面所对应ψ方位角。

而我们常规使用的各种应力仪，在使用固定ψ0的测定方法时，通常将目标ψ统一经2θ0转化得到对应的ψ0并作为预设参数，实际衍射的晶粒的ψ方位角与理论目标ψ有一定偏差。这一偏差为0.5（2θφψ-2θ0），当应力较大时，两者之间相差可达到0.2°以上。

理论上，在检测得到2θφψ后，使用这一实测值对ψ值进行修正是能够消除这一偏差影响的。

然而，我们在各检测标准和仪器的计算中都没有发现对ψ的修正。

针对以上问题，我们分别模拟同倾法固定ψ法和同倾固定ψ0法对同一样品检测，计算说明。

根据以上计算结果：

在σ11=500MPa的情况下，使用固定ψ0法进行检测，在ψ未经修正的情况下会使计算所用ψ带有明显误差，其差值可达0.25°以上。使用未经修正的ψ值进行应力计算，其产生的误差比例接近1%。这在进行精确应力分析时已经到了不可忽视的程度。

对于同倾固定ψ0法，可根据2θφψ值对ψ进行修正，能够解决这一问题（在上面的算例中经过修正应力误差约0.1%，大部分由数据圆整误差贡献）。

同倾法在ψ角运转平面内检测，由2θ值变化产生的偏差在ψ角上得到累积，由此产生了接近1%的计算误差。对于侧倾法固定ψ0法，其实测时参与衍射晶粒的方位角在更接近φ方向上偏离，对该φ方向正应力的计算影响要小于同倾固定ψ0法。

2、2θ与ψ的精确度对应力计算结果的影响

应力测定是在不同ψ方向上采集衍射峰并定位2θ，通过多组（ψ，2θψ）进行应力计算。

对此，我们可以针对2θ以及ψ的精确度对应力计算结果的影响程度进行定量计算，

先来看看ψ的误差达到±1°时，能使应力结果产生多大的误差。

以σ=100MPa、τ=0为例，计算ψ角误差为±1°时，应力结果在[96.70MPa，103.70MPa]区间，最大偏差达到3.70MPa，误差比例为3.70%。

在σ=500MPa条件下，ψ角误差为±1°，应力结果的最大偏差达到18.40MPa，误差比例为3.68%。

可确定：ψ角误差量值一定时，产生的误差比例一定；应力值越高，其引起的应力值绝对偏差越大。

类似的，2θ的精度对应力结果的影响程度也可以进行定量分析。

同样在σ=100MPa条件下，当2θ角误差为±0.01°时，应力结果在[87.46MPa，112.57MPa]，最大偏差达到12.57MPa，误差比例为12.57%。

在σ=500MPa条件下，2θ角误差为±0.01°，应力结果在[487.42MPa，512.57MPa]，最大偏差为-12.58MPa，误差比例为2.52%。

可确定：2θ角误差一定时，引起应力结果的误差量值一定；应力值越低，其引起的应力值误差比例越大。

以上结果显示，单从量值上看，2θ值对应力计算结果的影响要远大于ψ值。

对此，可以这样理解：应力值是由2θ-sin2ψ或者ε-sin2ψ的关系决定的，将ψ转化为sin2ψ后，由ψ引起的误差已经非常小了。

与此同时，在GB/T 7704-2017标准对仪器的要求中也有体现。

——2θ最小分辨率宜不大于0.05°；

——ψ0角或者ψ角的设置精度应在±0.5°范围之内；

两者之间相差10倍。

GB/T 7704-2017节选▼

目前，常规的X射线应力仪所用线阵探测器的分辨率约为0.02°，但这并不代表衍射峰的定位（即2θ）精度只有0.02°。

对于探测器采集的衍射信息，经过校正处理后，对衍射峰进行平滑处理或者函数拟合可以得到衍射峰的轮廓线，再根据轮廓线或者拟合函数确定衍射峰位，最终用于应力计算的2θ值通常能够精确到0.001°。

分析到这里，不知道是否有人也出现过这样的想法：

通过底层的仪器机械精度和不确定度，向上计算出应力仪检测应力的精度和不确定度，可行吗？

这一问题我们留待以后讨论。

3、修正χ法的应力计算

应力计算的基础，是根据弹性力学理论，在X射线应力测定的坐标体系中所建立的应力与应变关系：

其后经过转化，最终得到针对指定φ方向的应力与应变关系：

式中C为常数。

根据公式（4）能够解析出σ11和τ13。

对于同倾法和侧倾法，其衍射几何简单，应力计算过程很容易理解。

对于修正χ法，其衍射几何在GB/T 7704-2017和ASTM E2860-20中的介绍较为详细。本文摘用ASTM E2860-20的示意图进行说明。

应注意，两部标准中部分符号的使用存在差异，E2860-20中的β、χm相当于中的ψ0、η0。

在进行修正χ法的应力计算时，首先需将两个探测器的方位角转化为常规的φ、ψ表示方式。再将其中与变量β无关的项（可视为常数项）使用C、D代替，得到公式（8）：

由此可以看出，双线阵探测器侧倾法检测的应变结果与σ11、τ12、τ13、τ23均有关。

针对此关系式，E2860-20在描述该方法的缺点时表示：

• 无法解决/区分τ12和τ13
• 无法解决τ23对σ11的影响

ASTM E2860-20节选▼

以上问题其实并非无法解决。

在GB/T 7704-2017中直接给出了正应力和切应力的计算表达式：

其中εl和εr分别为左右两侧探测器检测的应变值，η0=（180°-2θ0）/2，为已知的常数项。

我们在E2860-20给出的计算公式上进一步推导，来了解修正χ法的应力计算方法。

对于修正χ法，其最鲜明的特点是同时在左右两侧各有一个探测器，其方位角χm互为相反数。

在公式（8）的基础上，将左右探测器的ε相加，可得到公式（8-1）：

式中，M为常数。

此时，ε只与σ11、τ13相关，根据以上关系，很容易观察到，σ11、τ13在修正χ法时的关系与常规同倾法和侧倾法时一致，均呈现椭圆分布。在ε-sin2β图上看，σ11、τ13分别与椭圆半长轴的斜率和椭圆开口大小相关。

进一步可推导得出σ11、τ13计算公式如下：

（8-1-a）中σ11的计算公式与GB/T 7704-2017中公式（21）完全一致，而τ13的计算公式是标准中未提供的。

采用这一偏微分计算方法是直接在椭圆分布下求取斜率值。

将左右探测器的ε相减，转化后最终可得到公式（8-2）

此时，ε只与τ12、τ23相关，可得到其解析式如下：

为分析τ12、τ23与β的关系，在公式（8-2）的基础上略去常数项，简化为以下形式：

在假设τ12=3MPa、τ23=5MPa的条件下绘图。

其中蓝色部分的β为0°~±45°范围，橙色为扩大到±78°范围，绿色为扩大到±180°范围。

由图可以看出，y-sinβ和y-cosβ均呈椭圆形。在y-cosβ图中，椭圆长轴的斜率与τ23相关，椭圆开口的大小与τ12相关。

按照公式（8-2-a）可以解析出τ12，但同时存在以下问题：

在检测设置的±45°β范围，y完全位于椭圆长轴的一侧。要得到准确的τ12值，则必须对称布置正负β角，而且曲线并不关于其线性拟合线对称（同时也不相对于β=0的中点对称），斜率的求解具有明显的不稳定性（使用公式（8-1-a）解析τ13具有同样的问题）。

因此，运用这一关系式解析τ12具有很大的局限性。

参考GB/T 7704-2017公式（31）中τφ的计算方法，将正负β的ε作差并取平均值，τ12的计算可转化为以下形式：

从新的图形上看，已经从原来的椭圆形转化为线性分布对的斜率求解。

那么，τ23的解析式会有计算问题吗？

在y-cosβ图中，椭圆长轴的斜率与τ23相关。β=0位于椭圆长轴的端点，曲线的线性拟合线即为椭圆的长轴，曲线的正β和负β相对于线性“对称”分布，因此，τ23计算的效果相对τ12的情况要稍好一些。

参考GB/T 7704-2017公式（30），使用正负β之和求取关于cosβ斜率的方式来计算τ23,得到下式：

将正负β的ε求和取平均值后，其关于cosβ的分布形式转化为直线，更利于斜率τ23的求解。

可观察到：ε-cosβ完整椭圆半长轴的范围是0至1区间，如果仅将β值设置±45°范围内，对应的cosβ范围仅在0.7至1之间，将大大限制计算结果的精度。在一些标准中，建议修正χ法检测时最大β角设置到±78°。

然而：将应力计算由（8-2-a）对椭圆曲线求取斜率，转化为使用（8-2-b）对直线计算斜率，并没有改变τ12、τ23与β的原始关系（即公式（8-2）），尤其是表现τ12应力的y-sinβ曲线有明显的非对称性，在检测实验中的应力计算极易受干扰；同时由于使用了两侧探测器检测值作差(εl-εr)，其量值很小造成误差比例偏高，进而可能造成τ12、τ23的计算误差偏大。

针对修正χ法的检测和应力计算可总结以下几点：

1、双探测器侧倾法在单一φ方向上设置正负β（或者ψ0）参数进行检测，能够同时解析出σ11、τ13、τ12、τ23四项应力结果。

2、需要准确计算τ12、τ23值时，β角±45°范围已经无法满足使用要求，建议尽量设置到±78°。检测实验中易出现τ12、τ23计算误差偏大的情况，实际检测中通常只在单一φ方向的检测中计算σ11、τ13结果，其他应力张量则通过多个φ方向的检测结果计算。

3、在运用前述偏微分方法计算应力时，使用了两侧探测器（±χm）以及±β角检测的应变作加减运算，相当于将多个探测器采集结果合成为一个数据进行应力计算，因此需要严格对称设置（±β或±ψ0）检测参数，即使出现单侧探测器的衍射峰被删除，都需要将其所处的±β或±ψ的值完全舍去，否则将导致计算结果错误。

如使用椭圆拟合方法进行应力计算，每一个β（或ψ0）都是一个独立数据点，以上2和3中的问题能够得到一定程度改善，关于椭圆拟合的计算方法将在后续的文章中讨论。

本文为X射线应力测定中若干问题讨论的（上）部分，余篇将在下期推送。

本文的讨论是笔者对于X射线应力测定的一些个人理解和思考，仅代表个人观点，不当之处还请批评指正。更多残余应力检测知识，欢迎搜索关注公@众&号“应力与变形控制”，一起探讨。

来源：翔博科技